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For Hermitian matrices, the range of the continuous function R A x , or f x , is a compact subset [ a , b ] of the real line. The maximum b and the minimum a are the largest and smallest eigenvalue of A , respectively.

The min-max theorem is a refinement of this fact. This is one inequality. Therefore, also. Its intersection with the subspace U isn't zero by simply checking dimensions and hence there exists a vector v in this intersection that we can write as.

Again, this is one part of the equation. That is, the maximum value of the Rayleigh quotient is larger than the maximum eigenvalue. An immediate consequence [ citation needed ] of the first equality in the min-max theorem is:.

The Cauchy interlacing theorem states:. This can be proven using the min-max principle. Let A be a compact , Hermitian operator on a Hilbert space H.

Recall that the spectrum of such an operator the set of eigenvalues is a set of real numbers whose only possible cluster point is zero.

It is thus convenient to list the positive eigenvalues of A as. When H is infinite-dimensional, the above sequence of eigenvalues is necessarily infinite.

We now apply the same reasoning as in the matrix case. Since it is an element of S' , such an x necessarily satisfy. Furthermore, any bounded set in H is weakly compact.

This lets us replace the infimum by minimum:. Index the above by the collection of k-1 -dimensional subspaces gives.

The min-max theorem also applies to possibly unbounded self-adjoint operators. Sometimes we have some eigenvalues below the essential spectrum, and we would like to approximate the eigenvalues and eigenfunctions.

The proofs [1] [2] use the following results about self-adjoint operators:. From Wikipedia, the free encyclopedia.

Not to be confused with Minimax theorem. I like being on bottom and it does help, mainly because I can sit up and kinda get her to stop moving for a second.

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